一、 前言
在日常生活中，我們總會(huì )買(mǎi)些帶包裝的飲料，如金屬包裝的、塑料包裝的、紙質(zhì)包裝的，在包裝的外形方面也有各種各樣的形狀，有圓柱形、長(cháng)方體等形狀，飲料的包裝設計包含了一定的數學(xué)原理，對于包裝的設計要考慮成本因素外，還須考慮生態(tài)環(huán)境的保護，便于攜帶等因素，因此，廠(chǎng)家在設計包裝時(shí)就要從上述方面入手。通過(guò)對本課題的研究，得出對飲料的包裝的一種較為合理的設計方案，同時(shí)通過(guò)我們的親身參與，使我們能夠更深入的了解自然，走向社會(huì )，養成科學(xué)的精神和態(tài)度，提高綜合運用所學(xué)的數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
二、 研究的內容
（1） 飲料的體積固定時(shí)不同的包裝的形狀對所用材料的多少的影響及對制造容器時(shí)的工作量的影響；
（2） 飲料包裝的材料選擇及包裝的發(fā)展方向。
三、 有關(guān)數據的采集
在周六等課余時(shí)間我們到超市等場(chǎng)所測量了相關(guān)數據
表一：易拉罐的相關(guān)數據（鋁質(zhì)包裝）
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品種 |
高（cm） |
底面半徑（cm） |
體積（cm3） |
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雙鹿啤酒 |
11.9 |
3.15 |
350 |
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椰子汁 |
13.2 |
2.65 |
250 |
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旺仔牛奶 |
8.5 |
3.2 |
245 |
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露露飲料 |
16.8 |
3.2 |
500 |
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健力寶 |
10.2 |
3.25 |
330 |
四、有關(guān)易拉罐制造成本問(wèn)題的數學(xué)建模及計算過(guò)程
假設易拉罐的上、下底面及側面所用的材料相同，則在相同的體積情況下，哪種飲料所用的材料最少則成本就越低，也就最合理，
① 易拉罐（雙鹿啤酒）的表面積S=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8（cm2）
每立方厘米啤酒所需包裝材料是297.8/350=0.85（cm2）
② 易拉罐（椰子汁）的表面積S=2π×2.65×13.2+2π×2.652≈264（cm2）
每立方厘米椰子汁所需包裝材料是264/250=1.06（cm2）
③ 易拉罐（旺仔牛奶）的表面積S=2π×3.2×8.5+2π×3.22≈235（cm2）
每立方厘米旺仔牛奶所需包裝材料是235/245=0.96（cm2）
④易拉罐（露露飲料）的表面積S=2π×3.2×16.8+2π×3.22≈402（cm2）
每立方厘米露露飲料所需包裝材料是402/500=0.804（cm2）
⑤易拉罐（健力寶）的表面積S=2π×3.25×10.2+2π×3.252=274（cm2）
每立方厘米健力寶飲料所需包裝材料是274/330=0.83（cm2）
從上面五種飲料的計算結果可以看出，在相同體積的情況下，露露飲料所用的材料要比其它飲料的少，即節省了資源。那么，從節省資源的角度來(lái)說(shuō)，何種設計是最合理的呢？
設易拉罐的高為h，底面圓半徑為r，由圓柱的體積公式V=
πr2·h，得h=V/πr2，又易拉罐的表面積S=2πr2 +2πr h，所以S=2πr2 +2V/r
按設計要求知，體積V是常數，半徑r是變量，表面積S是r的函數，故問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題：當r取何值時(shí)函數S取最小值？
由S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 =3, 當且僅當2πr2 = V/r ，即r =時(shí)，易拉罐具有最小的表面積3 ，此時(shí)易拉罐的高h =2r。也即當易拉罐設計成等邊圓柱時(shí)，消耗的材料最少。
五、飲料包裝的材料的選擇及發(fā)展方向
市場(chǎng)上飲料的包裝除了用鋁合金作原料外，還有許多用了紙質(zhì)包裝和塑料來(lái)作包裝，制造易拉罐用的鋁錠中鋁的含量在97%以上，另含有微量的鐵、錳、鎂、銅、鋅等，用紙質(zhì)來(lái)作包裝材料在材料價(jià)格上要便宜些，對環(huán)境也可起保護作用，但紙質(zhì)包裝容易破損，在飲料的保質(zhì)期上也遠遠不如用鋁合金作包裝的長(cháng)，用塑料（聚乙烯）作包裝材料同樣在價(jià)格上便宜，但一個(gè)明顯的不足是對環(huán)境的影響較大，穩定性好，不易分解，容易造成污染。
近幾年來(lái)，包裝工業(yè)正在進(jìn)行著(zhù)一場(chǎng)技術(shù)革新 綠色包裝，它是指可以回收利用的、不會(huì )對環(huán)境造成污染的包裝，其內涵為資源的再生利用和環(huán)境保護，綠色包裝發(fā)源于1987年聯(lián)合國環(huán)境與發(fā)展委員會(huì )發(fā)表《我們共同的未來(lái)》，到1992年6月聯(lián)合國與環(huán)境與發(fā)展大會(huì )通過(guò)《里約環(huán)境與發(fā)展宣言》、《21世紀議程》，在全世界范圍內掀起了一個(gè)以保護生態(tài)環(huán)境為核心的綠色浪潮�！熬G色包裝”（Green package）有人稱(chēng)作：“環(huán)境之友包裝”（Enviromental
Fiendly package）或生態(tài)包裝（Ecological package）。綠色包裝應是：對生態(tài)環(huán)境和人體健康無(wú)害，能循環(huán)復用和再生利用，可促進(jìn)持續發(fā)展的包裝。也就是說(shuō)包裝產(chǎn)品從原材料的選擇、產(chǎn)品制造、使用、回收和廢棄物的整個(gè)過(guò)程均應符合生態(tài)環(huán)境保護的要求。它包括了節省資源、能源、減量、避免廢棄物的產(chǎn)生，易回收復用，再循環(huán)利用，可焚燒或降解等生態(tài)環(huán)境保護要求的內容。也就是世界工業(yè)發(fā)達國家要求包裝做到的“3R”和“1D”（Reduce減量化、Reuse重復使用、Recycle再循環(huán)和Degradable可降解）原則。
六、小結
鑒于對以上的材料分析，我們認為對于飲料的包裝設計材料若選擇塑料（聚乙烯）為原料，雖然成本較低，但由于對它的降解性的研究方面作的還不夠，對環(huán)境影響很大，因而不宜采用，而應選擇可回收再利用的金屬或較容易分解的紙質(zhì)為包裝材料更恰當，并且在外形制作上以選擇等邊圓柱形比較合適。
指導老師：劉偉杰
課題研究小組成員：朱海霞 蔣清清 吳淑芳 鄭靖慷 富吉勇 林建南 鄭明星 張 鎮
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